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标题: 在高数微积分极限中的一些计算技巧 [查看完整版帖子] [打印本页]

时间: 2025-1-6 16:10

作者: xyfmmp12345 标题: 在高数微积分极限中的一些计算技巧

仅针对选择题，证明题另谈。在计算极限时，除了掌握基本的ε-ξ语言外，等价无穷小是必须要牢记的，这将会使得计算量大大简化，但在进行等价无穷小替换时，要求分子或分母得是乘积的形式。

1.牢记两个重要极限
（1）lim x→0时sinx/x=1，还有其他的变形，如lim x→0时tanx/x=1，lim x→0时cosx/x=1，同时需要记住这个极限的证明过程主要是依据准则I的【夹逼准则】以及单位圆，并且在其他计算中尽量去凑成重要极限；
（2）lim x→0时(1+x)^(1/x)以及等价形式lim x→∞时(1+1/x)^x，这个极限的证明过程主要是依据准则II的【单调有界函数必收敛】，同时使用了牛顿二项式展开定理和放缩法，一样的在其他计算中尽可能去凑成该极限形式。
2.善于使用三角恒等变换公式
三角函数在高中已经学过，但是很多人忘记了（学霸除外）这些恒等变换公式，实际上在高数、数分、大物的计算题中，很多时候仍需要大量使用这些变换，因此牢记并能熟练使用这些公式决定了在面对一些题目时我们是否能够快速准确的得到答案，例举一些必须牢记和掌握的：
两角和公式，sin（α±β），cos（α±β），tan（α±β）
和差化积，[sin(a) + sin(b) = 2sin[(a + b)/2]cos[(a - b)/2]
积化和差，sinα·cosβ = (sin(α+β) + sin(α-β)) / 2
2倍角公式，sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos²α−sin²α，tan2α=2tanα/(1-tan²α)

半角公式

除了上述这些外，还要熟记6个三角函数的图像、定义域、值域，特别是正割和余割这两个在高中时代提及较少的函数secx、cscx，与此同时还要知道6个三角函数的反三角函数以及他们的图像、定义域、值域。根据三角函数定义牢记6个三角函数之间的关系，sinx/cosx=tanx，cosx/sinx=cotx，1/sinx=cscx，1/cosx=secx，
cos²α+sin²α=1，1+tan²x=sec²x，1+cot²x=csc²x
3.善用对数公式
常见的对数变换大部分人都能够记住，但是换底公式却不一定能记住，logab=logcb/logca，另外一个非常重要的对数恒等变换【a=e^lna】需要牢记，在很多计算过程中都可能使用到它
4.使用换元
如将a^x-1替换成t，即令a^x-1=t，则x=loga(1+t)，当x→0时t也→0，换元能够在部分场景下简化计算过程
最后的最后，上面几个小技巧仅仅只是冰山一角，数学必须通过大量的练习才能真正掌握其中内涵，光看定理远远不够，以上。

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